一维单$\delta$势

一维单$\delta$势的哈密顿量为

$$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\gamma\delta(x),$$

它描述了一个在$x=0$处趋于无穷的势，发散的方向取决于“强度”$\gamma$的正负：正即为

$\delta$势垒，负即为$\delta$势阱。它的奇异性是显而易见的，定态薛定谔方程为
$H\psi=E\psi,$

等式右边的能量本征值$E$是个有限的数，而左边却包含发散的$\delta$函数。为了让等式成立，必须有一个相反的发散来“抵消”——能量本征函数的一阶导数必须在势阱处突变，使二阶导数发散。

$\delta$函数的准确含义只能在积分下理解

$$\int_{a}^{b}f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0),\quad a<x_{0},b>x_{0}.$$

这也正是我们将用来求解$\delta$势问题的方法。对定态薛定谔方程两边同时积分，积分区域包含$\delta$势所在的$x=0$，并取积分上下限趋于$0$的极限：


$$\lim_{\epsilon\to 0}-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{d\psi}{dx}|_{x=\epsilon}-\frac{d\psi}{dx}|_{x=-\epsilon}\right)+\gamma\psi(0)=\lim_{\epsilon\to 0}E\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\psi(x)dx,$$

右边极限为零，而左边包括能量本征函数在$x=0$处的右导数与左导数之差，正如预期的那样，一阶导数发生了突变：

$$\psi'(0^+)-\psi'(0^-)=\frac{2m\gamma}{\hbar^2}\psi(0).$$

结合波函数连续的条件，我们已经清楚了波函数在$\delta$势处的行为，接下来需要求解$\delta$势外的“自由区域”的行为。

在$x\neq 0$区域，定态薛定谔方程变成

$$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x),$$

容易求得其通解为：

$$\psi(x)=\begin{cases}Ae^{ikx}+Ce^{-ikx} & x<0, \\ Be^{ikx}+De^{-ikx} & x>0,\end{cases}$$

其中“角波数”$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$。上文的分析告诉我们在连接处$x=0$有：

$$\psi'(0^+)-\psi'(0^-)=ik(B-D)-ik(A-C)=\frac{2m\gamma}{\hbar^2}\psi(0)=\frac{2m\gamma}{\hbar^2}(A+C)$$

即

$$ik(B-A)=\frac{2m\gamma}{\hbar^2}(A+C),$$

若无进一步的条件，这就是我们能得到的全部了。

散射态
若$k$是实数，即$E>0$，则上述波函数在无穷远处非零，问题转化为散射问题。在散射问题中，我们考虑一个平面波会怎样被散射，要得到一般波函数的散射则只需将平面波叠加起来。设平面波从左边入射，其伴随有反射波和透射波，即令$A=1$，$B=t$（transmission），$C=r$（reflection），$D=0$（仅在一边入射）：
$$\psi(x)=\begin{cases}e^{ikx}+re^{-ikx} & x<0, \\ te^{ikx} & x>0.\end{cases}$$
解得满足$x=0$处连接条件的系数为：
$$t=\frac{1}{1-\frac{m\gamma}{i\hbar^2k}},\quad r=\frac{1}{\frac{i\hbar^2k}{m\gamma}-1}.$$
由于不可归一化，此时$\left|\psi(x)\right|^2$已失去位置概率密度的意义，我们转而考察概率流密度。概率流密度定义为
$$j=\frac{1}{2m}\left(\psi^*p\psi-\psi p\psi^*\right)=-\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\right)$$

我们分别计算入射波、反射波和透射波对应的概率流密度。