整体法适用这种情形吗

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已知导体棒MN与PQ的质量分别为

m_{1}

和

m_{2}

，水平足够长的导轨光滑且处于匀强磁场B中，现有拉力F作用在导体棒PQ上。

问：若把两根导体棒看成系统，能否把它们受到的安培力看做内力（因为安培力等大反向）呢？如果可以的话，能否用整体法来分析这个系统呢？

只把两根导体棒看成系统时，安培力对于两根杆来说不是内力。因为安培力是磁场对通电导线施加的力，现在只是把两根杆看成系统，那么磁场就是这个系统外的对象，所以系统外的对象对这个系统施加的力就是外力！

只是恰好在这种条件下，两根杆所受的安培力恰好等大反向，对每根杆列出牛顿第二定律方程，有：

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{1} F-BIL=m_{2}a_{2}\\ BIL=m_{1}a_{1}\\ \end{array} \right. \end{equation}

联立两个方程求解可把安培力可以抵消，从而可得：

F=m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}

当两根导体棒达到稳定状态的时候，即两根导体棒的加速度相同，那么上式可以简化为：

F=(m_{1}+m_{2})a

这个结果看起来和用整体法分析得到的结果一样，但是从上面的化简过程可以看到，这只是求解方程组的一种特殊情况而已。而我们在用整体法分析一个系统的动力学特点时，指的是当几个物体的运动状态相同时，可以将这几个物体看成一个整体，那么在受力分析的时候可以不用考虑系统间的内力。而开头就指出了，当只把两根杆看成系统时，两个杆之间并没有产生相互作用，而杆受到的安培力并不是这个系统的内力！所以，对于这个系统就不能直接使用整体法来分析。

不相信的话，只需把原始问题稍微变化一下，假如导体棒MN的长度是导体棒PQ的两倍，其他条件不变，如下图所示。

此时两根棒所受的安培力不再等大了，对每根杆列出牛顿第二定律方程，有：

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{1} F-0.5BIL=m_{2}a_{2}\\ BIL=m_{1}a_{1}\\ \end{array} \right. \end{equation}

再把这两个方程联立起来抵消安培力后，显然不再有表达式：

F=m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}

即整体法对于两根棒组成的系统来说不再适用了。或者说力

F

并不是两根棒组成的系统的合外力，因为磁场对这个系统也产生了力的作用！

所以问题中的矛盾在于其结果看起来好像是整体法的结论，但本质上来说是没有弄清系统的内力与外力。内力指的是系统内各部分物体之间产生的相互作用，比如把两个接触的物体看成系统，它们之间产生的弹力或者摩擦力就是系统的内力。那么根据牛顿第三定律，系统内两个物体间的相互作用力一定总是等大反向的！正是基于这个特点，把每个物体的牛顿第二定律方程联立求解才能变成整体法的方程。

说到这里，针对系统的牛顿第二定律也就呼之欲出啦。

假设某个系统由

n

个物体组成，每个物体的质量分别为

m_{1}、m_{2}、...m_{n}

，而每个物体的加速度分别为

a_{1}、a_{2}、...a_{n}

，作用在这个系统上的合外力为

F

。

隔离物体1，有方程：

\vec F_{1}+\vec F'_{1}=m_{1}\vec a_{1}

隔离物体2，有方程：

\vec F_{2}+\vec F'_{2}=m_{2}\vec a_{2}

隔离物体n，有方程：

\vec F_{n}+\vec F'_{n}=m_{n}\vec a_{n}

每个等式里，

\vec F_{i}

表示系统合外力

F

作用在物体

i

上的分力，而

\vec F'_{i}

表示物体

i

受到的内力。把这n个方程相加后，内力的矢量和一定为0，而各物体所受外力的矢量和即为力

F

，所以就有结果：

\vec F=m_{1}\vec a_{1}+m_{2}\vec a_{2}+...+m_{n}\vec a_{n}

结果说明，无论各个质点的加速度是否相同，均可以把多个物体看成整体。特殊的情形，若每个物体的加速度相等，方程就变成了：

\vec F=(m_{1}+m_{2}+...+m_{n})\vec a

即为整体法的方程啦。

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