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从微观角度，如何解释物体产生的磁性？

小学二年级的时候，我们就知道，变化的电场周围会产生磁场。
那么，从微观角度，如何解释物体产生的磁性？

或者说，磁性产生的微观机制是什么？

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阿兰那行
阿兰那行 注册会员 用户来自于: 香港
2022-05-17 19:37
本回答之后会更新更多细节，先提供一个框架和大图景。

本回答分三个方面：为什么磁性物体表现宏观的磁力；量子层面上由于电子关联而涌现的磁性“序”；解释铁磁、顺磁、反铁磁之类 通俗来讲，磁性其实应该理解为物质在磁场下的响应性质，而定量上这个响应由“磁化强度（磁矩）”“磁化率（响应函数）”来描述。磁化率先不管了，就说磁矩吧，磁矩是会和磁场进行相互作用的，势能为和力分别是：

U = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}\\ \mathbf{F} = \nabla(\mathbf{m}\cdot \mathbf{B})

这个东西来源其实就是洛伦兹力（推导后补上）。同样的，由于磁矩能生成磁场（偶极展开），在一些近似之下我们能写出和库仑力很相近的磁矩相互作用( r 为俩磁矩相对位置的单位距离矢量)

所以其实这还是来源洛伦兹力。宏观上（经典层面）磁体之间的作用力还是没绕过洛伦兹力，即一般意义上的电磁相互作用。 而在微观的量子层面，事情就不一样了。首当其冲就是磁矩的来源，由材料内部电子的轨道磁矩（环电流，磁矩方向反平行于角动量方向）和内禀自旋自由度给出的“自旋磁矩”（还有晶格离子的磁矩，但一般相对而言很小）而最重要的就是自旋磁矩。它与磁场的相互作用势也是和经典具有一样的形式：


在与磁场耦合的不同方向上，自旋（spin-1/2）的本征值是量子化的两个值。所以在一定意义上“自旋的宏观排列和取值分布决定了宏观磁矩”。在这里我想要阐明的是，电子之间的库伦相互作用起到了决定性作用.

电子之间存在库伦相互作用，在晶格中，考虑如下两种情况，可以得到磁性的效应： 临近格点上的电子之间存在可观的库伦排斥 同一格点上两个相反自旋的电子（废话，泡利不相容原理）之间的库伦排斥 第1种情况，由于临近格点电子库伦排斥下空间波函数的反对称性，为保证整体波函数的反对称，自旋部分波函数应为对称的——即两电子的自旋同向（实际上是对称）排列；考虑所有临近格点电子两两之间的这种库伦排斥，这就带来了整体的同向排列，即铁磁性


我们可以直接把格点电子库伦相互作用的哈密顿量写成如下形式
\mathcal{H} = \sum_{ij} -J^F_{ij}(\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j + \frac{1}{4}n_in_j) , \quad J_{ij}^F>0

叫做“direct exchange”相互作用（ferromagnetic Heisenberg model）可以看到，从库伦相互作用“演生”出来了“自旋相互作用”。其中， J^F>0 涵盖了此情况下的库伦相互作用，这个哈密顿量的基态是铁磁态即自旋同向排列（对称排列），表示在此库伦作用下系统favour铁磁态。【注明：自旋“同向排列”是经典图像。量子中的”双电子的自旋对称排列“指的一般是三重态triplet，总自旋取1，有三个取法： \mathinner{|\uparrow\uparrow\rangle},\mathinner{|\downarrow\downarrow\rangle}, \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|\uparrow\downarrow\rangle}+\mathinner{|\downarrow\uparrow\rangle})】.  【再注明，exchange相互作用也有反铁磁的情况，即Heitler-London scheme】

第二种情况，在同一格点的两个相反自旋的电子的相互作用，即Hubbard model，在strong coupling limit 下（super exchange）能得到反铁磁相互作用。在半满的格点系统中，即每个格点贡献一个巡游电子，我们能得到反铁磁的基态（双电子下即为spin-singlet，总自旋为0）具有反铁磁性，这也是著名的Mott绝缘体所具有的性质.
\mathcal{H} = \sum_{ij}t_{ij}c^\dagger_ic_j + h.c.+U\sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}\\ \Rightarrow large \ U \ limit\Rightarrow \\ \mathcal{H} = \sum_{ij} J_{ij}(\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j - \frac{1}{4}n_in_j) , \quad J>0
在反铁磁态下自旋排列反对称（单重态singlet），经典图像下就是相邻自旋反向排列。【再注：反铁磁的Heisenberg model的基态并不是一个如上描述很简单很直观的东西，这里只做一个（坑）直白的、简要的经典图像讨论】
当然上述讨论也有一个相对简单的理解方式：把双电子波函数的basis在自旋的basis写出来，每个电子可以带有两个自由度的自旋——然后把库伦项写成矩阵元，构建出4X4的哈密顿矩阵——对角化，就可以看到基态以及基态能量了，也能直接写出exchange interaction的Heisenberg model，通过对 [公式]  的变号对应了不同的基态构型——铁磁还是反铁磁。教科书级的详细讨论见Patrik Fazekas: Electron correlation and Magnetism第二章。

接下来我们来解释以下分别的磁效应。在最开始说过了，自旋的排列和取值决定了宏观磁矩。我们以铁磁性为例，磁矩同向排列，在宏观中怎么量化呢？这就是引入“序”（order parameter序参量）的概念了。在铁磁情形下我们取单位体积的磁化强度为序参量，其实在格点系统就是总体的平均磁矩 \sum_i^N(\mathbf{m}_i)/N。如果每个微观磁矩（自旋磁矩）的排布都是杂乱随机的，则平均磁矩（序参量）就是0，我们没有铁磁序；而一旦所有的自旋磁矩取向有了一个一定趋势，即使很小，都能使得序参量绝对值大于0，即存在铁磁序。这是一个前提——在刚才讨论的库伦相互作用能给系统以铁磁序/反铁磁序的可能。
首先，以铁磁为例，不考虑外磁场，我们说系统趋近于自发形成有序——由库仑相互作用（自旋相互作用）的讨论——具有铁磁序，什么能破坏掉这个序呢？热涨落可以。随着温度升高，自旋磁矩的排列（取值）会收到随机的影响趋近于杂乱排布，温度越高，序参量绝对值越小。终于，超过一个临界温度时，序参量为0，不具有铁磁序。此温度即所谓的“居里点”。
再者我们考虑在外磁场下铁磁是怎么响应的，我们的势能是取一个负号 V = -\bf{m}\cdot\bf{B}。为了使得能量最低，磁矩 \bf{m} 会趋近于与磁场同向，这就是外磁场修正磁矩指向的效应。在居里点以上不太多的时候，虽然不再具有铁磁序，但我们外加磁场后，能量最低（其实分析的应该是自由能）的情形下还是能出现铁磁序的，只是很小。这也就是“顺磁性”的含义。
在真实材料中，存在一块一块的子区域，每个区域中的磁矩都是同向排列具有铁磁序，但是各个区域的排列方向是不同的，这叫做“磁畴”。下图左。材料整体宏观磁矩被抵消，为0。【这一块块小区域的边界被称为“畴壁（domain wall）”，在边界处自旋磁矩们变化并在很小厚度范围内变化到相邻区域的自旋磁矩取向，于是形成了很薄的“墙”将这些区域分割。】

图源https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-981-16-0069-2_6

但是外加一个方向的磁场后，所有磁畴的微观磁矩被磁场所修正到同一方向了，见图右。关掉磁场后，没有了与磁场的相互作用能量，上图右也是一个稳定态，和左一样，反正各个磁畴内都是铁磁序就行了。所以宏观呈现强铁磁磁矩。这也是“铁的磁化“的物理图像。
留下思考：反铁磁的情况下是什么图像？怎么定义合适的序参量？
总结一下：微观的磁矩来源于内禀自旋（主要）以及电荷环流，而自旋的取值和排布则影响了物体的宏观磁矩。磁矩能够与外磁场相互作用并改变系统的能量，提供”磁力“。自旋的取值和排布决定因素有”电子相互作用（自发成序）“、热涨落（破坏序）、和磁场（修正序），以及其它未讨论的因素，而这些因素是竞争关系，于是导致了相变。磁性能作为一个序来刻画各个相。
参考资料：
D. Tong: Lectures on Electromagnetism;
P. Fazekas: Electron correlation and Magnetism；
A. Auerbach: Interacting electrons and quantum magnetism；
A. Altland & B. Simons: Condensed matter field theory
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